A three-dimensional (3D) method of analysis is presented for determining the natural frequencies of shallow spherical domes with non-uniform thickness. Unlike conventional shell theories, which are mathematically two dimensional (2D), the present method is based upon the 3D dynamic equations of elasticity. Displacement components U_φ, U_θ, and U_Z in the meridional, circumferential, and normal directions, respectively, are taken to be periodic in θ and in time, and algebraic polynomials in the φ and z directions. Potential (strain) and kinetic energies of the shallow spherical domes with non-uniform thickness are formulated, and the Ritz method is used to solve the eigenvalue problem, thus yielding upper bound values of the frequencies by minimizing the frequencies. As the degree of the polynomials is increased, frequencies converge to the exact values. Convergence to four-digit exactitude is demonstrated for the first five frequencies. Natural frequencies are presented for different boundary conditions. The frequencies from the present 3D method are compared with those from a 2D exact method, a 2D thick shell theory, and a 3D finite element method by previous researchers

چکیده

یک روش سه بعدی از تجزیه و تحلیل برای تعیین فرکانس‌های طبیعی گنبد های کروی شکل کم عمق با ضخامت غیر یکنواخت ارائه شده است. بر خلاف تئوری ‌های قراردادی که بطور محاسباتی دو بعدی هستند، روش کنونی بر اساس معادلات دینامیک سه بعدی قابلیت ارتجاعی است. مؤلفه‌های جابجایی U_φ، U_θ و U_Z در مسیرهای نصف النهاری، پیرامونی و نرمال بطور θ و در زمان بکار برده شده اند و چند جمله ای ‌های جبری در مسیرهای Z و φ هستند. انرژی‌ های جنبشی و پتانسیل گنبد های کروی سطحی با ضخامت غیر یکنواخت تنظیم شده‌اند و روش Ritz برای حل مساله مقادیر ویژه استفاده شده است، بنابریان مقادیر، مرز بالایی فرکانس‌ ها را از طریق کوچکسازی فرکانس‌ ها ارائه می‌ دهد. همینکه درجه چند جمله‌ ‌ای ‌ها افزایش یابد، فرکانس ‌ها تا مقادیر بزرگی را همگرا می ‌کنند. فرکانس‌ های طبیعی برای شرایط مرزی متفاوت ارائه شده ‌اند. فرکانس‌ ها از روش سه بعدی کنونی با موارد بدست آمده از روش دقیق دو بعدی، یک تئوری محافظ ضخیم دو بعدی و یک روش محدب توسط محققان قبلی مقایسه شدند.

1-مقدمه

بسیاری از محققان مسائل ارتعاش آزاد کره‌ های جامد، کره‌ های تو خالی و حفاظ‌ های نیم کره ای‌ را از طریق رویکردهای سه بعدی بررسی کرده ‌اند. موارد ادبی منتشر شده کمی در مورد بررسی مساله گنبد های کروی سطحی و صفحه‌ های حفاظ کروی با استفاده از رویکرد سه بعدی وجود دارد. مطالعات کمی برای یکنواخت سازی ضخامت حفاظ ارائه شدند...