This is a modest contribution on higher-order continuum theory for predicting size effects in small-scale objects. It relates to a preceding article of the journal by the same authors (AMSS, 2013, 26: 9–20) which considered the longitudinal dynamical analysis of a gradient elastic fiber but, in addition to an internal length, an internal time parameter is also introduced to model delay/acceleration effects associated with the underlying microstructure. In particular, the free transverse vibration of a double-walled carbon nanotube (DWNT) is studied by employing gradient elasticity with internal inertia. The inner and outer carbon nanotubes are modeled as two individual elastic beams interacting with each other through van der Waals (vdW) forces. General explicit expressions are derived for the natural frequencies and the associated inner-to-outer tube amplitude ratios for the case of simply supported DWNTs. The effects of internal length (or scale) and internal time (or inertia) on the vibration behavior are evaluated. The results indicate that the internal length and time parameters of the adopted strain gradient-internal inertia generalized elasticity model have little influence on the lower order coaxial and noncoaxial vibration modes, but a significant one on the higher order modes

کاربرد نانو لوله­های کربنی (CNTs) (نانوکامپوزیت­ها، نانو ابزارها، دستگاه­های نانو الکترونیک، نانو داروها) به دلیل خواص ترمومکانیکی، شیمیایی و اُپتو الکتریک منحصر به فردی که دارند در حال افزایش است. استحکام عالی و قابلیت شکل­پذیری غیر معمول آن­ها موضوع بسیاری از مطالعات اخیر بوده است. به عنوان مثال، مدل­های تیر الاستیک Timoshenko و Euler برای بررسی تغییر شکل CNTs از جمله انحراف استاتیک، کمانش ستون، فرکانس­ها و حالت­های تشدید، و همچنین انتشار موج استفاده شده­اند [1-10]. علاوه بر این، مدل تیر الاستیک تکی برای بررسی رفتار استاتیکی و دینامیکی نانو لوله­های کربنی چند جداره (MWNTs) استفاده شده است. نشان داده شده که چنین مدل ساده­ای برای توصیف ارتعاشات در MWNTs با نسبت طول به عرض کمتر از 10 کافی است [3]. در حقیقت، بسیاری از کاربردهای نانو الکترونیکی و طراحی نانو مکانیکی مربوط به CNTs مبتنی بر نسبت طول به عرض حدود 10 است. استفاده از CNTs به عنوان ترانزیستورهای تک الکترون با طول nm 20، MWNTs با نسبت طول به عرض حدود 20 (طول حدود nm 300 و قطر حدود nm 20-10) به عنوان الکترومترها یا واحدهای سازنده دستگاه­های نانو الکترونیک، سوئیچ­های نانو مکانیکی CNT با نسبت طول به عرض حدود 10، و CNTs با نسبت طول به عرض حدود 25-10 به عنوان نوک میکروسکوپ AFM مثالی از این کاربردها هستند. بنابراین، رفتار ارتعاشی CNTs کوتاه (با نسبت طول به عرض 30-10) اهمیت بالایی دارد...