We develop new, higher-order numerical one-step methods and apply them to several examples to investigate approximate discrete solutions of nonlinear differential equations. These new algorithms are derived from the Adomian decomposition method (ADM) and the Rach–Adomian–Meyers modified decomposition method (MDM) to present an alternative to such classic schemes as the explicit Runge–Kutta methods for engineering models, which require high accuracy with low computational costs for repetitive simulations in contrast to a one-size-fits-all philosophy. This new approach incorporates the notion of analytic continuation, which extends the region of convergence without resort to other techniques that are also used to accelerate the rate of convergence such as the diagonal Padé approximants or the iterated Shanks transforms. Hence global solutions instead of only local solutions are directly realized albeit in a discretized representation. We observe that one of the difficulties in applying explicit Runge–Kutta one-step methods is that there is no general procedure to generate higher-order numeric methods. It becomes a time-consuming, tedious endeavor to generate higher-order explicit Runge–Kutta formulas, because it is constrained by the traditional Picard formalism as used to represent nonlinear differential equations. The ADM and the MDM rely instead upon Adomian’s representation and the Adomian polynomials to permit a straightforward universal procedure to generate higher-order numeric methods at will such as a 12th-order or 24th-order one-step method, if need be. Another key advantage is that we can easily estimate the maximum step-size prior to computing data sets representing the discretized solution, because we can approximate the radius of convergence from the solution approximants unlike the Runge–Kutta approach with its intrinsic linearization between computed data points. We propose new variable step-size, variable order and variable step-size, variable order algorithms for automatic step-size control to increase the computational efficiency and reduce the computational costs even further for critical engineering models

ما روش های عددی جدید تک مرحله ای مرتبه بالاتر را ارائه می کنیم و آنها را برای چند مثال به کار می بریم تا درباره حل های گسسته تقریبی معادلات دیفرانسیل غیرخطی تحقیق نماییم. این الگوریتم های جدید از روش تجزیه ادومیان (ADM) و روش تجزیه اصلاح شده راش-ادومیان-میرز (MDM) به دست می آیند تا جایگزینی برای روش های کلاسیک نظیر روش های صریح رونگ-کوتا برای مدلهای مهندسی باشند که برخلاف یک فلسفه "یک اندازه مناسب همه چیز"، نیازمند دقت بالا با هزینه های محاسباتی کم برای شبیه سازی های مکرر می باشند. این رویکرد جدید شامل نظریه پیوستار تحلیلی می شود که ناحیه همگرایی را تعمیم می دهد بدون این که به تکنیک های دیگری متوسل شود که برای تسریع آهنگ همگرایی به کار می روند (نظیر تقریبگر قطری پاده یا تبدیلات بازگشتی شانکس). از این رو حل های کلی و عمومی به جای صرفا حل های موضعی، مستقیما محقق می شوند (گرچه در یک نمایش گسسته). ما ملاحظه می کنیم که یکی از دشواری های استفاده از روش های تک مرحله ای رونگ-کوتای صریح این است که هیچ روال عمومی برای تولید روش های عددی مرتبه بالاتر وجود ندارد. این یک تلاش طاقت فرسا و وقت گیر برای تولید فرمول های صریح رونگ-کوتای مرتبه بالاتر است زیرا به فرمول بندی متداول پیکارد محدود می شود که برای نمایش معادلات دیفرانسیل غیرخطی به کار می روند. در عوض، ADM و MDM بر نمایش ادومیانی و چندجمله ای های ادومیان متکی هستند تا در صورت لزوم یک روال کلی سرراست را برای تولید روش های عددی مرتبه بالاتر دلخواه فراهم کنند از جمله روش تک مرحله ای مرتبه 12 ام یا 24 ام. مزیت اصلی دیگر این است که ما به آسانی می توانیم بیشترین اندازه گام را قبل از محاسبه مجموعه داده هایی که حل گسسته را نشان می دهند، تقریب بزنیم زیرا ما می توانیم شعاع همگرایی را از تقریبگرهای حل تخمین بزنیم (برخلاف روش رونگ-کوتا که از خطی سازی درونی بین نقاط داده استفاده می کند). ما الگوریتم های جدیدی با اندازه گام متغیر، مرتبه متغیر و اندازه گام متغیر، و مرتبه متغیر را برای کنترل خودکار اندازه گام پیشنهاد می کنیم تا بازدهی محاسباتی را افزایش داده و هزینه محاسباتی را برای مدلهای بسیار مهم مهندسی ، بیشتر کاهش دهیم.

روش های عددی تک مرحله ای مرتبه بالاتر جدیدی ساخته می شوند و به منظور حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی بررسی می شوند که مبتنی بر تحقیقات گذشته توسط ادومیان و همکارانش (1و2) هستند. این روش های تک مرحله ای جدید از فرم های گسسته روش تجزیه ادومیان (ADM)(3-7) و روش تجزیه اصلاح شده راش-ادومیان-میر (MDM)(8) استنتاج می شوند. ملاحظه می کنیم که ADM معروف در چندین کتاب توسط ادومیان (4و9-11)، بلومو و ریگانتی (12)، چرولت (13) و وازواز (14-17) توصیف شده است و نیز در مقالات بسیاری به کار برده شده است. MDM بر مبنای تبدیل غیرخطی سری ها در قضیه ادومیان-راش (18و19) ساخته شده است و توسط ادومیان و راش (20-23)، ادومیان و همکارانش (24)، هسو و همکارانش (25) پرداخته و به کار برده شده است و نیز در کتابی از ادومیان در 1994 بطور گسترده استفاده شده است...