Abstract
The paper presents the basic ideas and the mathematical foundation of the partition of unity finite element method (PUFEM). We will show how the PUFEM can be used to employ the structure of the differential equation under consideration to construct effective and robust methods. Although the method and its theory are valid in n dimensions, a detailed and illustrative analysis will be given for a one-dimensional model problem. We identify some classes of non-standard problems which can profit highly from the advantages of the PUFEM and conclude this paper with some open questions concerning implementational aspects of the PUFEM
چکیده
این مقاله ایده های بنیادی و پایه و اساس روش تقسیم واحد المان محدود(PUFEM) را ارائه می نماید. در این مقاله نشان خواهیم داد که چگونه می توان PUFEM را جهت به کار گیری ساختار معادله ی دیفرانسیل مورد نظر برای ایجاد روش های موثر و مقاوم استفاده نمود. اگرچه این روش و تئوری آن در n بعد معتبر می باشند، تجزیه تحلیل مفصل و گویایی برای مساله ی یک بعدی ارائه خواهد گردید. سپس چند نوع از مسائل غیر استاندارد را که می توانند از مزایای PUFEM بهره ببرند را شناسایی خواهیم کرد. در آخر، نتیجه گیری این مقاله را با طرح چند سوال باز در مورد جنبه های اجرایی PUFEM به پایان خواهیم رساند.
1-مقدمه
هدف اصلی این مقاله ارائه ی یک روش جدید برای حل معادلات دیفرانسیل به نام روش تقسیم واحد المان محدود (PUFEM) می باشد. پایه و اساس PUFEM شرح داده شده و درباره ی بعضی از ویژگی های آن بحث می شود. شاخص ترین آنها به شرح زیر می باشد:
1- 1.توانایی شمول دانش پیشین درباره ی رفتار محلی راه حل در فضای المان محدود
2- 2. توانایی ساخت فضاهای المان محدود برای هر گونه قاعده ی مورد نظر ( که ممکن است برای حل معادلات مرتبه ی بالاتر حائز اهمیت باشد)
3- 3. این حقیقت که PUFEM در رده ی روش های بدون مش تقسیم بندی می شود؛ لزومی به ایجاد مش در معنای کلاسیک وجود ندارد و از این رو نیازی به مش بندی پیچیده نمی باشد.
4- 4.این حقیقت که PUFEM می تواند به عنوان ورژن تعمیم یافته ی روش المان محدود h، p و hp در نظر گرفته شود.
در این مقاله، بیشتر بر روی اولین مورد از این چهار ویژگی تمرکز خواهیم نمود...